Chuỗi số

Khái niệm

Cho ${a_{n}}_{n = 1}^{+ \infty}$ là một dãy số bất kỳ. Chuỗi số là tổng vô hạn các số hạng của dãy số:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}

$a_{n}$ được gọi là số hạng tổng quát
$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ được gọi là tổng riêng thứ $n$ . Các tổng riêng lập thành dãy tổng riêng ${S_{n}}_{n = 1}^{+ \infty}$

Nếu giới hạn $lim_{n \to + \infty} S_{n}$ là hữu hạn và bằng giá trị $S$ , ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng $S$ :

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} = lim_{n \to + \infty} S_{n} = S

Ngược lại, nếu dãy tổng riêng không có giới hạn hữu hạn, ta nói chuỗi phân kỳ.

Một số chuỗi số tiêu biểu

Chuỗi hình học có số hạng tổng quát dưới dạng: $a . q^{n - 1} (a \neq 0)$ .

Hội tụ nếu $| q | < 1$ và có tổng bằng $\frac{a}{1 - q}$ .
Phân kỳ nếu $| q | \geq 1$

Chuỗi điều hòa (Riemann) có số hạng tổng quát dưới dạng $\frac{1}{n^{q}}$ :

Hội tụ nếu $| q | > 1$
Phân kỳ nếu $| q | \leq 1$

Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} hội tụ \Rightarrow lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0

Điều ngược lại không đúng.

Mệnh đề phản đảo là đúng:

lim_{n \to + \infty} a_{n} \neq 0 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} phân kỳ

Các tính chất cơ bản của chuỗi số

Tính hội tụ/phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên:
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ và $\sum_{n = N_{0}}^{\infty} a_{n}$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Tính tuyến tính:

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{a}; \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = S_{b} \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} (p a_{n} + q b_{n}) = p S_{a} + q S_{b} \forall p, q \in R