Chuỗi

Chuỗi số dương

Chuỗi số dương là chuỗi có tất cả các số hạng đều dương

Do tính đơn điệu của dãy số, chuỗi số dương hội tụ $\Leftrightarrow$ dãy tổng riêng $S_{n}$ bị chặn.

Các tiêu chuẩn so sánh

Cho 2 chuỗi số dương

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}; \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

TCSS 1:
Nếu

a_{n} \leq b_{n} \forall n \geq N_{0} \in N

và $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ hội tụ thì $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ cũng hội tụ
và $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ phân kỳ thì $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ cũng phân kỳ.

TCSS 2:
Nếu

lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = L

$L = 0$ hoặc $L = \infty$ tương đương với TCSS 1
$L > 0$ và hữu hạn thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Tiêu chuẩn D'Alembert và Tiêu chuẩn Cauchy

Xét chuỗi số dương $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ và:

L = {\begin{cases} lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} (D’Alembert) \\ lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} (Cauchy) \end{cases}

$L < 1$ thì chuỗi hội tụ
$L > 1$ thì chuỗi phân kỳ
$L = 1$ chưa thể kết luận về tính hội tụ/phân kỳ

Tiêu chuẩn tích phân

Xét chuỗi số dương $\sum_{n = N_{0}}^{\infty} a_{n}$ và hàm $f (x)$ liên tục, dương, giảm trên $[N_{0}, \infty)$ thỏa mãn $f (n) = a_{n} \forall n \geq N_{0}$ thì

\int_{N_{0}}^{+ \infty} f (x) d x và \sum_{n = N_{0}}^{+ \infty} a_{n} cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Chuỗi với số dạng có dấu bất kỳ

Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Xét chuỗi $\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}$ :

Nếu $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ hội tụ thì $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ cũng hội tụ. Khi này, chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối
Nếu $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ nhưng $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ phân kỳ thì chuỗi được gọi là bán hội tụ
Nếu $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ phân kỳ theo tiêu chuẩn D'Alembert hoặc tiêu chuẩn Cauchy thì $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ cũng phân kỳ.

Một số tính chất:

Nếu một chuỗi là hội tụ tuyệt đối có tổng $S$ , ta có thể đổi thứ tự các số hạng một cách tùy ý mà vẫn thu được chuỗi mới hội tụ tuyệt đối có tổng bằng $S$
Nếu một chuỗi là bán hội tụ, ta có thể đổi thứ tự các số hạng theo một cách nhất định để tạo ra chuỗi phân kỳ hoặc có tổng bằng một số bất kỳ
Tích hai chuỗi:

(\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}) (\sum_{n = 1}^{+ \infty} b_{n}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} c_{n}

với

c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n + 1 - k}

Nếu $\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n}$ và $\sum_{n = 1}^{+ \infty} b_{n}$ cùng hội tụ tuyệt đối, và

\sum_{n = 1}^{+ \infty} | a_{n} | = S_{a}; \sum_{n = 1}^{+ \infty} | b_{n} | = S_{b}

thì

\sum_{n = 1}^{+ \infty} | c_{n} | = S_{a} S_{b}

Chuỗi số đan dấu

Chuỗi số đan dấu là chuỗi có dạng

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n} hoặc \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} với a_{n} > 0 \forall n \geq 1

Tiêu chuẩn Leibniz: Nếu ${a_{n}}_{n = 1}^{+ \infty}$ là dãy giảm và $lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ thì chuỗi đan dấu hội tụ